Question

【題目】已知圓A：（x+1）2+y2=8，動圓M經過點B（1，0），且與圓A相切，O為坐標原點．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C相切于點M，且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，若 =λ ，且λ∈[ ，2]，求△OPQ面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動圓M的半徑為r，依題意，|MA|=2 ﹣r，|MB|=r，

∴|MA|+|MB|=2 ＞|AB|=2，

∴M點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，即2a=2 ，a= ，2c=2，c=1，

則b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的標準方程為： +y2=1．

（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設l：y=kx+b，

，化簡得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，

∵l與橢圓C相切于點M，設M（x0，y0），

∴△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，

且2x0=﹣ =﹣ ，解得：x0=﹣ ，y0=﹣ +b= ，

∴點M的坐標為（﹣ ， ），

又l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，

∴點P的坐標為（﹣ ，0），點Q的坐標為（0，b），

∴△OPQ的面積S= |OP||OQ|= ，又b2=1+2k2，

∴S= =|k|+ ，

∴ =（ ﹣ ， ）， =（ ，b﹣ ），

由 =λ 得， =λ（b﹣ ），化簡得λ= = ，

由λ∈[ ，2]，得k2∈[ ，1]，|k|∈[ ，1]，

又S=|k|+ ，且函數y=x+ 在[ ， ]上單調遞減，在[ ，1]上單調遞增，

∴當|k|= 時，S取得最小值 ，當|k|= 或1時，S取得最大值 ，

∴△OPQ面積S的取值范圍是[ ， ]

【解析】（Ⅰ）根據題意求得|MA|與|MB|的關系，結合橢圓的定義可知動圓圓心的軌跡為橢圓，并求得其軌跡方程；（Ⅱ）設出直線l的方程，然后表示出點M，P，Q的坐標，從而表示出三角形OPQ的面積，再結合求得直線斜率k的取值范圍，從而求得△OPQ面積S的取值范圍.