Question

（2009•宜昌模擬）已知數列{a_n}（n∈N^*）滿足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定義使a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數的數k（k∈N^*）叫做企盼數，則區間[1，2009]內的企盼數共有

9

個．

Answer 1

分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化簡a₁•a₂•a₃…a_k，得log₂（k+2），設k（n）+2=2ⁿ⁺¹，列出不等式可得區間[1，2009]內所有企盼數．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2），
a₁•a₂•a₃•…•a_k=log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2），
∵a₁•a₂•…•a_k為整數，
設k（n）+2=2ⁿ⁺¹，即k（n）=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）
令1≤2ⁿ⁺¹-2≤2009⇒1≤n≤9（n∈N^*）
故答案為：9．

點評：本題考查的知識點是對數的性質，其中換底公式的推論log_ab•log_bc=log_ac是解答本題的關鍵．