Question

【題目】設橢圓E:（a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）因為橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

，

要使,需使,即,所以,所以又,

所以,所以,即或,

因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,,,

所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．