Question

【題目】已知函數(shù) ， ,

⑴ 若有零點(diǎn)，求 m 的取值范圍；

⑵ 確定 m 的取值范圍，使得有兩個(gè)相異實(shí)根.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;

【解析】

(1) 在x>0時(shí)有根,再對(duì) （2）記,證明h(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)定理h(e)<0,解得,再證明在(e,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，在(0,e)上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上即可得解.

(1) 在x>0有根,當(dāng)時(shí)則或m≤-2e(舍),當(dāng)時(shí),f(0)=e2,則f(0)≤0無(wú)解,則m≥2e.

(2)記,

則可以證明h(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增，證明如下:

任取,令, 由于, , 所以,所以函數(shù)在(0,e)上單調(diào)遞減;同理可證得在(e,+∞)上單調(diào)遞增,

所以h(e)為函數(shù)最小值,根據(jù)零點(diǎn)定理h(e)<0,解得,

以下說(shuō)明必存在函數(shù)值大于零:

首先說(shuō)明(e,+∞)上,當(dāng)m≥2e時(shí), ,當(dāng)時(shí), ;所以在(e,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)。

再說(shuō)明(0,e)上, ,所以取即中中較小值,當(dāng)即時(shí), ;當(dāng)即時(shí), ;所以在(0,e)上只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上, .