Question

若f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=2對稱，則f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：導數的綜合應用

分析：根據對稱性求出a，b，利用導數研究函數的最值即可．

解答： 解：∵f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=2對稱，
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即

9+3a+b=0 25+5a+b=0

，解得a=-8，b=15，
即f（x）=（1-x²）（x²-8x+15）=-x⁴+8x³-14x²-8x+15，
則f′（x）=-4x³+24x²-28x-8=-4（x-2）（x²-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+

5

或x=2-

5

，
由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+

5

或x＜2-

5

，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0，解得2-

5

＜x＜2或x＞2+

5

，此時函數單調遞減，
作出對應的函數圖象如圖：
則當x=2+

5

或2+

5

時，函數f（x）取得極大值同時也是最大值
則f（2+

5

）=16，
故答案為：16

點評：本題主要考查函數最值的區間，根據對稱性求出a，b的值，利用導數研究函數的單調性和函數的最值求法等知識，綜合性較強，難度較大．