【題目】已知橢圓
的左頂點為
，右焦點為
，上頂點為
，過的直線
交橢圓
于
、
.當與重合時，
與
的面積分別為
、
.
（1）求橢圓的方程；
（2）在
軸上找一點
，當變化時，
為定值.
【答案】（1）
；（2）
軸上存在一定點
，當
變化時，
為定值
.
【解析】
（1）作
軸于
，由題意得出
，可得出
、
的值，從而得出點
的坐標，將點的坐標代入橢圓的方程得出
，
，再結合
的面積求出
的值，從而可得出橢圓
的方程；
（2）設點
、
、
，設直線的方程為
，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用向量的坐標運算結合韋達定理計算
，由此得出當
時，為定值.
（1），作軸于，則
，
，
因此的坐標為
，
把點代入橢圓，有
，故，.
的面積為
，則
，即
，解得
.
因此，橢圓的方程為；
（2）設點、、，設直線的方程為.
將直線的方程與橢圓的方程聯立
，消去得
.
由韋達定理得
，
.
，
，
，
當時，即當
時，為定值.
當
軸時，可設
，此時
.
故軸上存在一定點，當變化時，為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著教育信息化2.0時代的到來，依托網絡進行線上培訓越來越便捷，逐步成為實現全民終身學習的重要支撐．最近某高校繼續教育學院采用線上和線下相結合的方式開展了一次300名學員參加的“國學經典誦讀”專題培訓．為了解參訓學員對于線上培訓、線下培訓的滿意程度，學院隨機選取了50名學員，將他們分成兩組，每組25人，分別對線上、線下兩種培訓進行滿意度測評，根據學員的評分(滿分100分)繪制了如下莖葉圖：
(1)根據莖葉圖判斷學員對于線上、線下哪種培訓的滿意度更高?并說明理由；
(2)求50名學員滿意度評分的中位數
，并將評分不超過、超過分別視為“基本滿意”、“非常滿意”兩個等級．
(i)利用樣本估計總體的思想，估算本次培訓共有多少學員對線上培訓非常滿意?
(ii)根據莖葉圖填寫下面的列聯表：
并根據列聯表判斷能否有99.5％的把握認為學員對兩種培訓方式的滿意度有差異?
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心為
，點
是圓上的動點，點
，線段
的垂直平分線交
于
點．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過點
作斜率不為0的直線
與（1）中的軌跡交于
，
兩點，點關于
軸的對稱點為
，連接
交軸于點
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（其中
為參數）曲線
的普通方程為
，以坐標原點為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線和曲線的極坐標方程；
（2）射線
:
依次與曲線和曲線交于
、
兩點，射線
:
依次與曲線和曲線交于
、
兩點，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線
與曲線交于點
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）已知極坐標系中兩點
，
，若
、
都在曲線上，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的焦點坐標是
，過點
且垂直于長軸的直線交橢圓于
兩點，且
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，問三角形
內切圓面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，
是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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