Question

【題目】對于函數，定義f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*），已知偶函數g（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，當x＞0且x≠1時，g（x）=f2018（x）．

（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；

（2）求出函數y=g（x）的解析式；

（3）若存在實數a、b（a＜b），使得函數g（x）在[a，b]上的值域為[mb，ma]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）g（x）= ；（3）（﹣，0）.

【解析】

（1）根據函數關系代入計算進行求解即可；（2）由偶函數的定義，計算可得所求解析式；（3）根據函數奇偶性和單調性的性質，結合函數的值域關系進行求解即可．

（1）因為函數

定義f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*），f1（x）=，

f2（x）=f[f1（x）]= =，（x≠0且x≠1），

f3（x）=f[f2（x）]= =x，（x≠0且x≠1），

f4（x）=f[f3（x）]= ，（x≠0且x≠1），

故對任意的n∈N，有f3n+i（x）=fi（x）（i=2，3，4），

于是f2018（x）=f3×672+2=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；

（2）當x＞0且x≠1時，g（x）=f2018（x）=1﹣，

又g（1）=0，

由g（x）為偶函數，當x＜0時，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，

可得g（x）=；

（3）由于y=g（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

又a＜b，mb＜ma，可知a與b同號，且m＜0，

進而g（x）在[a，b]遞減，且a＜b＜0，

當a，b∈（0，1）時，g（x）=1﹣為增函數，

故，即m==，

得a﹣1=b﹣1，即a=b，與a＜b矛盾，∴此時a，b不存在；

函數y=g（x）的圖象，如圖所示．由題意，有，

故a，b是方程1+=mx的兩個不相等的負實數根，

即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有兩個不相等的實根，

于是，解得﹣＜m＜0．

綜合上述，得實數m的取值范圍為（﹣，0）．