Question

【題目】已知橢圓 的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、， 為坐標原點，四邊形的面積為，且該四邊形內切圓的方程為．

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）若、是橢圓上的兩個不同的動點，直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得， ，則橢圓的方程為： ；

(2)分別考查斜率存在和斜率不存在兩種情況，求得的面積為定值.

試題解析：

（Ⅰ）四邊形的面積為，又可知四邊形為菱形，

，即 ①

由題意可得直線方程為： ，即

四邊形內切圓方程為

圓心到直線的距離為，即②

由①②解得： ，

橢圓的方程為：

（Ⅱ）若直線的斜率存在，設直線的方程為， ， ，

由得：

直線與橢圓相交于兩個不同的點，

得： ③

由韋達定理：

直線的斜率之積等于，

滿足③

又到直線的距離為,

所以的面積

若直線的斜率不存在， 關于軸對稱

設， ，則，

又 在橢圓上， ，

所以的面積

綜上可知， 的面積為定值.