Question

【題目】已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

（1）求證：不論 為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD ?

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵ ＝λ(0＜λ＜1)，

∴不論λ為何值，恒有EF∥CD.

∴EF⊥平面ABC，EF 平面BEF.

∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC

（2）由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

∴BD＝ ，AB＝ tan60°＝ .

∴AC＝ ＝ .

由AB2＝AE·AC，得AE＝ .∴λ＝ ＝ .

故當λ＝ 時，平面BEF⊥平面ACD

【解析】(1)由已知根據平行線分線段成比例定理可得EF∥CD.，進而得出EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理得到平面BEF⊥平面ABC。(2)由面面垂直的性質定理可得BE⊥平面ACD，則BE⊥AC故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可，解三角形ABC求出其值即可。