Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的極值點的個數；

（2）當函數有兩個極值點，時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對求導得，令，再對求導，根據的取值范圍確定的正負，即可得解；

（2）不妨設，由題意，對函數求導后可得即，由、單調性可得，再令，求導后可得，即可得證.

（1），.

設，則.

令，解得.

當時，；當時，.

.

當時，，函數單調遞增，沒有極值點；

當時，，

且當時，；當時，.

當時，有兩個零點，即函數有兩個極值點.

綜上，當時，函數的極值點的個數為0；當時，函數的極值點的個數為2.

（2）由（1）知，、為的兩個實數根，不妨設，在上單調遞減.

下面先證，只需證.

，

得，.

設，，

則，在上單調遞減，

，，.

函數在上也單調遞減，.

要證，只需證，

即證.

設函數，，則.

設，則.

在上單調遞增，，即.

在上單調遞增，.

當時，，

，.