Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=．

（1）求直線D₁B與平面ABCD所成角的大小；
（2）求證：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

（1）45º；（2）利用線線垂直證明線面垂直

試題分析：（1）因?yàn)镈₁D⊥面ABCD，所以BD為直線B D₁在平面ABCD內(nèi)的射影，
所以∠D₁BD為直線D₁B與平面ABCD所成的角，    2分
又因?yàn)锳B=1，所以BD=，在Rt△D₁DB中，，
所以∠D₁BD=45º，所以直線D₁B與平面ABCD所成的角為45º；    4分
（2）明：因?yàn)镈₁D⊥面ABCD，AC在平面ABCD內(nèi)，所以D₁D⊥AC，
又底面ABCD為正方形，所以AC⊥BD， 6分
因?yàn)锽D與D₁D是平面BB₁D₁D內(nèi)的兩條相交直線，
所以AC⊥平面BB₁D₁D． 8分
點(diǎn)評(píng)：此類問題常考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及空間角、幾何體體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理