Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，記

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

．
（Ⅰ）求{a_n}；
（Ⅱ）是否存在等差數列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3？若存在，請求出{b_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得（1，2）∥（a_n，a_n+1），從而{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）假設存在等差數列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，則1×b₁=3-2=1，1+2b₂=7，從而{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，由此能求出b_n=2n-1．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，
記

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

，
∴（1，2）∥（a_n，a_n+1），
∴

1

an

=

2

an+1

，
∴a_n+1=2a_n，
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）假設存在等差數列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，
則1×b₁=3-2=1，解得b₁=1，
1+2b₂=7，解得b₂=3，
∴{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴b_n=2n-1．

點評：本小題主要考查等比數列、等差數列、向量平行的判斷、錯位相減法等基礎知識，考推理論證能力及運算求解能力，考查化歸轉化思想、特殊一般思想及應用意識．