Question

已知f(x)=

x

x+2

（x＞0），若f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，n∈N^*）則

1

f8(1)

=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式,函數的值

專題：等差數列與等比數列

分析：根據條件求出f₁（1）的值，化簡f_n（x）=f（f_n-1（x））得

1

fn(1)

=

2

fn-1(1)

+1，設an=

1

fn(1)

得a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），可證明數列{a_n+1}是等比數列，然后根據等比數列的通項公式求出

1

fn(1)

和

1

f8(1)

．

解答： 解：由題意得，f(x)=

x

x+2

（x＞0），f₁（x）=f（x），
則f₁（1）=f（1）=

1

3

，
因為f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，n∈N^*），
所以f_n（1）=f（f_n-1（1））=

fn-1(1)

fn-1(1)+2

，
即f_n（1）f_n-1（1）+2f_n（1）=f_n-1（1），
兩邊同除以f_n（1）f_n-1（1）得，

1

fn(1)

=

2

fn-1(1)

+1，
設an=

1

fn(1)

，則上式邊為：a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
則a_n+1=2（a_n-1+1），且a₁+1=3+1=4，
所以數列{a_n+1}是以4為首項、2為公比的等比數列，
則a_n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1，
所以

1

fn(1)

=2ⁿ⁺¹-1，則

1

f8(1)

=2⁹-1=511，
故答案為：511．

點評：本題以函數為載體，考查數列的遞推公式，等比數列的定義、通項公式的應用，以及換元法、構造法求出數列的通項，具有一定的綜合性．