Question

已知拋物線C: y=-x²+6, 點P（2, 4）、A、B在拋物線上, 且直線PA、PB的傾斜角互補.
(Ⅰ)證明:直線AB的斜率為定值;
(Ⅱ)當直線AB在y軸上的截距為正數時, 求△PAB面積的最大值及此時直線AB的方程.

Answer 1

（1）k_AB=2.（2）方程為y=2x+.

(Ⅰ)證: 易知點P在拋物線C上, 設PA的斜率為k, 則直線PA的方程是y-4=k(x-2).
代入y=-x²+6并整理得x²+2kx-4(k+1)=0此時方程應有根x_A及2,
由韋達定理得:
2x_A="-4(k+1)" , ∴x_A="-2(k+1)." ∴y_A=k(x_A-2)+4.=-k²-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k²-4k+4).
由于PA與PB的傾斜角互補, 故PB的斜率為-k. 
同理可得B(-2(-k+1), -k²+4k+4)
∴k_AB="2."  
(Ⅱ) ∵AB的方程為y="2x+b," b>0.代入方程y=-x²+6消去y得x²+2x+b-6=0.
|AB|=2.  
∴S=|AB|d=·2
.
此時方程為y=2x+.