Question

【題目】如圖，在三棱柱側面．

(1)求證：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)要證平面平面，轉證平面AB，即證，；

(2) 以G為坐標原點，以的方向為x軸正方向，以的方向為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.分別求出兩個半平面的法向量，代入公式即可得到結果.

(1)如圖，設，連接AG.

因為三棱柱的側面為平行四邊形，所以G為的中點，

因為，

所以為等腰三角形，所以，

又因為AB⊥側面，且平面，

所以

又因為，

所以平面AB，又因為平面，

所以平面平面；

（2）由（1）知平面AB，所以B

以G為坐標原點，以的方向為x軸正方向，以的方向為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.

由B易知四邊形為菱形，因為

所以，

則可得，

所以

設平面的法向量，

由得：，取z=1，所以，

由（1）知=為平面AB的法向量，

則

易知二面角的余弦值.