Question

（10分）對于函數，若存在實數使成立，則稱點為函數的一個不動點.

（1）若，求函數f(x)的不動點；

（2）若對于任意實數b，函數總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；

（3）若定義在實數集R上的函數恒滿足，且存在n個不動點，設，求函數的最小值.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由x2-x=x得x=0或x=2 \f(x)的不動點為（0，0）和（2，2）………2分 　　　　 （2）由題意可知 ax2+bx-1=x有兩個相異實根 ax2+(b-1)x-1=0有兩個相異實根 顯然a¹0 \D=(b-1)2+4a>0對bÎR恒成立 ……………4分 即恒成立 又 \a>0 即a的取值范圍為(0，+∞) …………………6分 　　　　 （3）∵f(x)為R上的奇函數 \ f(0)=0 即（0，0）為f(x)的一個不動點 又設x0(x0¹0)滿足f(x) = x 即f(x0) = x0 \ f(-x0) =- f(-x0) =- x0 即若點（x0，y0）為f(x)的不動點， 則（-x0，-y0）也為f(x)的不動點。 從而n為正奇數………………………………8分 從而 又 \當x=3時，取得最小值，最小值為……10分