Question

【題目】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn).

（1）求圓的圓心坐標(biāo)；

（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線 與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

(1)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，可得到圓心坐標(biāo)；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，直線的方程為聯(lián)立直線和圓的方程得到韋達(dá)定理，進(jìn)而得到，，此時(shí)消去參數(shù)m即可得到軌跡方程；（3）結(jié)合第二問可得到曲線的軌跡，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得到滿足題意的結(jié)果.

（1）圓 化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，直線的方程為（易知直線的斜率存在），則得：

.解得：

消去得：

又解得：或

的軌跡的方程為

（3）由題意知直線表示過定點(diǎn) ，斜率為的直線.

表示的是一段關(guān)于軸對(duì)稱，起點(diǎn)為按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到的圓弧（不包含端點(diǎn)）.

由條件得：而當(dāng)直線與軌跡相切時(shí)，，解得（舍去）.

可得當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)時(shí)直線 與曲線只有一個(gè)交點(diǎn).