Question

【題目】設函數f（x）的導函數為f′（x），若f（x）=ex﹣f（0）x+x2（e是自然對數的底數）．
（1）求f（0）和f′（1）的值；
（2）若g（x）=x2+a與函數f（x）的圖象在區間[﹣1，2]上恰有2兩個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=ex﹣f（0）x+x2 ，
∴f′（x）=ex﹣f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，
∴f（0）=1，
∴f（x）=ex﹣x+x2 ，
∴f（0）=f′（1）﹣0+0，
∴f′（1）=1．
（2）由（1）可得：f（x）=﹣x+x2 ，
由g（x）=x2+a=f（x），化為a=﹣x=h（x），x∈[﹣1，2]．
∴h′（x）==，
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2，此時函數h（x）單調遞增；令h′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，此時函數h（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數h（x）取得最小值，h（1）=0．而h（﹣1）=，h（2）=e﹣2．
∵g（x）=x2+a與函數f（x）的圖象在區間[﹣1，2]上恰有2兩個不同的交點，
∴0＜a＜e﹣2．
∴實數a的取值范圍是（0，e﹣2）．
【解析】（1）由f（x）=ex﹣f（0）x+x2 ， 可得f′（x）=ex﹣f（0）+x，令x=1，可得f（0），進而得到f′（1）．
（2）g（x）=x2+a與函數f（x）的圖象在區間[﹣1，2]上恰有2兩個不同的交點y=a與h（x）=﹣x在x∈[﹣1，2]上有兩個不同交點．利用導數研究函數h（x）的單調性極值與最值，結合圖象即可得出．