Question

某企業有A、B兩種型號的家電產品參加家電下鄉活動，若企業投放A、B兩種型號家電產品的價值分別為a、b萬元，則農民購買家電產品獲得的補貼分別為tlna萬元、

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10

b萬元（t＞0且為常數）．已知該企業投放總價值為100萬元的A、B兩種型號的家電產品，且A、B兩種型號的投放金額都不低于10萬元．
（1）請你選擇自變量，將這次活動中農民得到的總補貼表示為它的函數，并求其定義域；
（2）問A、B兩種型號的家電產品各投放多少萬元時，農民得到的總補貼最多？

Answer 1

分析：（1）先投放A型產品的金額的x萬元，則投放B型產品的金額為（100-x）萬元，根據農民購買家電產品獲得的補貼分別為tlna萬元、

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b萬元（t＞0且為常數），即可得到農民得到的總補貼的函數解析式；
（2）對于（1）中求得的函數，取導函數，分類討論確定單調性，從而可求其最大值．

解答：解：（1）設投放A型產品的金額的x萬元，則投放B型產品的金額為（100-x）萬元，
農民得到的總補貼f（x）=tlnx+

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10

(100-x)=tlnx-

1

10

x+10
∵x≥10，100-x≥10，∴10≤x≤90，∴其定義域為[10，90]；
（2）f′（x）=

t

x

-

1

10

=

10t-x

10x

（10≤x≤90，t＞0），令f′（x）=0，得x=10t
1°若10t≤10，即0＜t≤1，則f′（x）≤0，∴f（x）在[10，90]為減函數，當x=10時，f（x）有最大值；
2°若10＜10t＜90，即1＜t＜9，則f（x）在[10，10t]是增函數，在[10t，90]是減函數，當x=10t時，f（x）有最大值；
3°若10t≥90即t≥9，f′（x）≥0，則f（x）在[10，90]是增函數，∴當x=90時，f（x）有最大值．
因此，當0＜t≤1時，投放A型產品10萬元，投放B型產品90萬元；當1＜t＜9時，投放A型產品10t萬元，投放B型產品（100-10t）萬元；當t≥9時，投放A型產品90萬元，投放B型產品10萬元，農民得到的總補貼最大．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用、利用導數研究函數的單調性及函數的最值，考查運算求解能力，分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．