Question

已知D是△ABC中AC邊上一點，且

AD

DC

=2+2

3

，∠C=45°，∠ADB=60°，則

AB

•

DB

=（　　）

• A、2
• B、0
• C、

  3

• D、1

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：令CD=t，則AD=2（1+

3

）t，由正弦定理和余弦定理即可求得BD，AB，再由勾股定理可得AB⊥DB，則由向量垂直的條件即可得到所求值．

解答： 解：令CD=t，則AD=2（1+

3

）t，
在△BCD中，由正弦定理

CD

sin15°

=

BD

sin45°

=

BC

sin120°

，
可得BD=

CD•sin45°

sin15°

=

2 2

6 - 2 4

t=（1+

3

）t，
在△ABC中，由余弦定理可得，
AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos60°
=4（1+

3

）²t²+（1+

3

）²t²-4（1+

3

）²t²•

1

2

=3（1+

3

）²t²，
則AB=

3

（1+

3

）t，
由于AB²+DB²=AD²，
則AB⊥DB，
則

AB

•

DB

=0．
故選：B．

點評：本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運用，考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．