Question

已知雙曲線，分別是它的左、右焦點，是其左頂點，且雙曲線的離心率為.設過右焦點的直線與雙曲線C的右支交于兩點，其中點位于第一象限內.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線分別與直線交于兩點，求證：；

（3）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

 

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）存在，，理由祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知首先得到，再由離心率為２可求得的值，最后利用雙曲線中基本量的關系求出值，從而就可寫出所求雙曲線的標準方程；（2）設直線的方程為：，與雙曲線方程聯立，消去得到關于的一個一元二次方程；再設，則由韋達定理就可用的式子表示出，再用點Ｐ，Ｑ的坐標表示出直線ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可寫出點Ｍ，Ｎ的坐標，進而就可寫出向量的坐標，再計算得，即證明得；（3）先取直線的斜率不存在的特列情形，研究出對應的的值，然后再對斜率存在的情形給予一般性的證明：不難獲得，從而假設存在使得恒成立，然后證明即可．

試題解析：（1）由題可知： 1分

2分

∴雙曲線C的方程為： 3分

（2）設直線的方程為：，另設：

4分

5分

又直線AP的方程為，代入 6分

同理，直線AQ的方程為，代入 7分

9分

（3）當直線的方程為時，解得. 易知此時為等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分

下證：對直線存在斜率的情形也成立.

11分

12分

13分

∴結合正切函數在上的圖像可知， 14分

考點：1．雙曲線的標準方程；2．直線與雙曲線的位置關系；３．探索性問題．