Question

【題目】已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)于正整數(shù)，已知成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值；

（3）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和是，且滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有等式成立.求滿足等式的所有正整數(shù)n.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1和3.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義判斷，最后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列化簡(jiǎn)得，再根據(jù)正整數(shù)限制條件以及指數(shù)性質(zhì)確定不定方程正整數(shù)解，（3）先根據(jù)定義求數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求，根據(jù)數(shù)列相鄰項(xiàng)關(guān)系確定遞減，最后根據(jù)單調(diào)性求正整數(shù)解.

試題解析：（1）由 得，兩式作差得，即 .

，，所以 ，，則 ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以 ；

（2）由題意，即，

所以，其中，，

所以，，

，所以，，；

（3）由 得，

，

，

，

所以 ，即，

所以 ，

又因?yàn)?/span>，得，所以 ，

從而 ，，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；

下面證明：對(duì)任意正整數(shù)都有，

，

當(dāng)時(shí)， ，即，

所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以對(duì)任意正整數(shù)都有；

綜上可得，滿足等式的正整數(shù)的值為和.