Question

（本小題滿分15分）平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經過點F₁（0，－c），F₂（0，c），A（c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含的式子表示）；
（2）已知橢圓（其中）的左、右頂點分別為D、B，
⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）⊙M的方程為，（2）①橢圓離心率的取值范圍為．②直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上

（1）設⊙M的方程為，則由題設，得
解得 ⊙M的方程為，
⊙M的標準方程為．
（2）①⊙M與軸的兩個交點，，又，，
由題設 即 所以………………………7分
解得，即 ．
所以橢圓離心率的取值范圍為．……………10分
②由（1），得．由題設，得． ∴，．
∴直線MF₁的方程為，    ①  
直線DF₂的方程為．    ②
由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點，易知為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上．…………………15分