Question

【題目】對于函數，若存在定義域中的實數，滿足且，則稱函數為“類” 函數.

（1）試判斷，是否是“類” 函數，并說明理由；

（2）若函數，，為“類” 函數，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不是.見解析（2）最小值為7.

【解析】

（1）不是，假設為類函數，得到或者，代入驗證不成立.

（2），得到函數的單調區間，根據題意得到

，得到，得到答案.

（1）不是.

假設為類函數，則存在，使得，

則，或者，，

由，

當，時，有，，

所以，可得，不成立；

當，時，有，，

所以，不成立，

所以不為類函數.

（2），則在單調遞減，在單調遞增，

又因為是類函數，

所以存在，滿足，

由等式可得：，則，

所以，

則，所以得，

從而有，則有，即，

所以，則，

由，則，

令，當時，，且，，且連續不斷，由零點存在性定理可得存在，

使得，此時，因此的最小值為7.