Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1的參數方程為 （φ為參數）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4 cosθ．
（1）求C1與C2交點的直角坐標；
（2）已知曲線C3的參數方程為 （0≤α＜π，t為參數，且t≠0），C3與C1相交于點P，C2與C3相交于點Q，且|PQ|=8，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數方程為 （φ為參數），

消去參數可得：x2+（y﹣2）2=4．

曲線C2的極坐標方程為ρ=4 cosθ，即ρ2=4 ρcosθ，

化為直角坐標方程：x2+y2=4 x．

聯立 ，

解得 ， ，

∴C1與C2交點的直角坐標分別為：（0，0）； ．

（2）解：曲線C3的參數方程為 （0≤α＜π，t為參數，且t≠0），

時，可得 ，代入方程：x2+（y﹣2）2=4，解得t=0，t=4．

代入：x2+y2=4 x，解得t=0，不滿足|PQ|=8，舍去．

時，消去參數化為普通方程：y=xtanα，設k=tanα．

聯立 ，解得 ， ，

可得P（0，0），或P ．

聯立 ，解得 ， ，

可得Q（0，0），或Q ．

∵|PQ|=8，∴只能取P ，Q ．

∴ + =82，

化為： =0，解得k=﹣

【解析】（1）曲線C1的參數方程為 （φ為參數），消去參數可得普通方程．曲線C2的極坐標方程為ρ=4 cosθ，即ρ2=4 ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程，聯立解出即可得出．（2）曲線C3的參數方程為 （0≤α＜π，t為參數，且t≠0）， 時，不滿足|PQ|=8，舍去． 時，消去參數化為普通方程：y=xtanα，設k=tanα，即直線l的方程為：y=kx，分別與曲線C1 ， C2的方程聯立解出交點P，Q的坐標，利用兩點之間的距離公式即可得出．