Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD= ，直線PC與平面ABCD所成角的正切為 ．
（1）設E為直線PC上任意一點，求證：AE⊥BD；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設O為線段AC的中點，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B，O，D三點共線，即O為AC與DB的交點

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC

因為E為直線PC上任意一點，所以AE平面PAC，所以AE⊥BD

（2）解：以 所在方向為x軸， 所在方向為y軸，過O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標系

由題意，AC=2 ，OB=1，OD=2

又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，∴tan∠PCA

所以PA= ，所以B（﹣1，0，0），C（0，﹣ ，0），P（0， ， ）

， ∴

設平面BPC的法向量 ，由 ，有

解得 …（10分）

由（1），取平面PCA的法向量 ．

所以cos＜ ＞=

所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值為

【解析】（1）設O為線段AC的中點，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B，O，D三點共線，即O為AC與DB的交點，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；（2）以 所在方向為x軸， 所在方向為y軸，過O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標系由題意，AC=2 ，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，由tan∠PCA 求得PA，利用向量求解
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．