Question

如圖，斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為b，側棱AA′與底面相鄰兩邊AB，AC都成45°角．
（Ⅰ）求此斜三棱柱的表面積．
（Ⅱ）求三棱錐B′-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判斷斜三棱柱ABC-A′B′C′的三個側面的形狀，分別求出面積再相加，即為斜三棱柱的側面積．
（Ⅱ）利用條件求出三棱錐B′-ABC的高，利用三棱錐的體積公式即可求三棱錐的體積．

解答：解：（Ⅰ）如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接A'E，A'F，AD．
由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°，AA'=AA'，
于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF．
因此A'E=A'F，從而可得DE=DF．
故AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴BC⊥AD．故BC⊥AA'．
∵AA'∥BB'，
∴BC⊥BB'．
因此四邊形BCC'B'是矩形，
故斜三棱柱的側面積為2×a×bsin45°+ab=（

2

+1）ab．
又∵斜三棱柱的底面積為2×

3

4

a²=

3

2

a²，
∴斜三棱柱的表面積為（

2

+1）ab+

3

2

a²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知D為正三角形ABC的中心，
∵正三角形的邊長為a，
∴AE=

2 b

2

，AD=

3

2

a•

2

3

=

3 a

3

，DE=

3 a

6

，
又AE²+DE²=AD²，
即(

2

2

b)2+(

3 a

6

)2=(

3 a

3

)2，
解得a=

2

b，
∴棱棱柱的高為A′D=

A′A2-A′D2

=

b2-( 3 3 a)2

=

b2- a2 3

=

b2- 2b2 3

=

3

3

b，
∴三棱錐B′-ABC的體積等于三棱錐A′-ABC的體積，即

1

3

×

1

2

a2sin60°×

3 b

3

=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

3

a2b=

1

12

a2b．

點評：本題主要考查斜三棱柱的表面積求法以及三棱錐的體積計算，要求熟練掌握常見幾何體的體積公式．