Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面為鈍角三角形且垂直于底面，，點是的中點，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若直線與底面所成的角為60°，求二面角余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）取中點，連接，設，，由勾股定理可得，結合面面垂直的性質定理可得證；

（Ⅱ）過點作的垂線，交延長線于點，連接，可證得為斜線與底面所成的角，進而得，過點作，所以底面，所以兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角即可.

詳解：

（Ⅰ）證明：取中點，連接，設，，

依題意得，四邊形為正方形，且有，，

所以，所以，

又平面底面，平面底面，底面，

所以平面.

又平面，所以平面平面

（Ⅱ）過點作的垂線，交延長線于點，連接，

因為平面底面，平面底面，

平面，所以底面，故為斜線在底面內的射影，

為斜線與底面所成的角，即

由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，

在中，，，，由余弦定理得，

所以，從而，

過點作，所以底面，

所以兩兩垂直，如圖，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的法向量

得

取得，

設平面的法向量

得，

取得，，

所以

故所求的二面角的余弦值為.