Question

已知圓:，過定點作斜率為1的直線交圓于、兩點，為線段的中點.
（1）求的值；
（2）設為圓上異于、的一點，求△面積的最大值；
（3）從圓外一點向圓引一條切線，切點為，且有 , 求的最小值，并求取最小值時點的坐標.

Answer 1

（1）2；（2）；（3）；．

試題分析：（1）通過⊥求解的值；
（2）當為與垂直的直徑，且與較遠的直徑端點時，△面積最大；
（3）通過△為直角三角形勾股定理列出關系式，然后通過進行轉化，
找出點所在軌跡，然后利用點到直線的距離即可找到的最小值，進而求出點的坐標．
試題解析：（1）由題知圓心，又為線段的中點，∴⊥，
∴，即，∴．
（2）由（1）知圓的方程為，∴圓心，半徑，
又直線的方程是，
∴圓心到直線的距離，．
當⊥時，△面積最大，．
（3）∵⊥，∴，
又，∴．
設，則有，整理得，即點在上，
∴的最小值即為的最小值，
由解得
∴滿足條件的點坐標為．