Question

已知t∈R，圓C：x²＋y²－2tx－2t²y＋4t－4＝0.
(1)若圓C的圓心在直線x－y＋2＝0上，求圓C的方程；
(2)圓C是否過定點？如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，說明理由．

Answer 1

（1）x²＋y²＋2x－2y－8＝0或x²＋y²－4x－8y＋4＝0（2）過定點(2，0)．

(1)配方得(x－t)²＋(y－t²)²＝t⁴＋t²－4t＋4，其圓心C(t，t²)．依題意t－t²＋2＝0?t＝－1或2.
即x²＋y²＋2x－2y－8＝0或x²＋y²－4x－8y＋4＝0為所求方程．
(2)整理圓C的方程為(x²＋y²－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t²＝0，令?
故圓C過定點(2，0)．