Question

【題目】已知函數（且， 為自然對數的底數）．

（1）若曲線在點處的切線斜率為0，且有極小值，

求實數的取值范圍．

（2）當 時，若不等式： 在區間內恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（﹣∞，0）; （Ⅱ）1+e

【解析】試題分析：

(1)首先求解導函數，結合導函數與原函數的關系可得實數a的取值范圍為（﹣∞，0）；

(2)不等式等價于xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，構造新函數h（x）=lnx+ex﹣m（x﹣1） ，結合題意討論新函數的性質可得實數的最大值為1+e.

試題解析：

（Ⅰ） ，

∵f′（e）=0，∴b=0，則

當a＞0時，f′（x）在（0，e）內大于0，在（e，+∞）內小于0，

∴f（x）在（0，e）內為增函數，在（e，+∞）內為減函數，即f（x）有極大值而無極小值；

當a＜0時，f（x）在（0，e）內為減函數，在（e，+∞）內為增函數，

即f（x）有極小值而無極大值．

∴a＜0，即實數a的取值范圍為（﹣∞，0）；

（Ⅱ）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，

當 a=1，b=﹣1 時，設h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．

則h′（x）= ．

令t（x）=h′（x）= ．

∵x＞1，∴t′（x）= ．

∴h′（x）在（1，+∞）內單調遞增，

∴當x＞1時，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．

①當1+e﹣m≥0時，即m≤1+e時，h′（x）＞0，

∴h（x）在區間（1，+∞）內單調遞增，

∴當x＞1時，h（x）＞h（1）=e恒成立；

②當1+e﹣m＜0時，即m＞1+e時，h′（x）＜0，

∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．∴h（x）在區間（1，x0）內單調遞減，

在（x0 ， +∞）內單調遞增．由h（x0）＜h（1）=e，

∴h（x）＞e不恒成立．綜上所述，實數m的取值范圍為（﹣∞，1+e]．

∴實數m的最大值為：1+e．