Question

【題目】已知為實(shí)常數(shù)，函數(shù).

（1）若在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：且.（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（3）證明

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：(1) 因，則，又在是減函數(shù)所以在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ；(2)先證明下當(dāng)時(shí)，，由（1）知，則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，由，得.所以，；（3）由（1）知當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，有，即，累加可得結(jié)果.

詳解：（1）因，則，又在是減函數(shù)所以在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

（2）因當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有，

則有.設(shè) . .

當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；

所以在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù). 最大值為 .

由于 ，且 ，所以 ，又，所以.

下面證明：當(dāng)時(shí)， .設(shè) ，

則 .在 上是增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， .即當(dāng)時(shí)，..

由得 .所以.

所以 ，即，，.

又 ，所以，.

所以 .而，則有.

由（1）知，則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

由，得.所以， .

（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，且

所以當(dāng)時(shí)恒有，即

當(dāng)時(shí)，有，即，

累加得：（）