Question

【題目】如圖，已知， 是橢圓的左右焦點， 為橢圓的上頂點，點在橢圓上，直線與軸的交點為， 為坐標原點，且， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于， 兩點（異于點），證明：直線過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：

（1）由題意可得為的中位線，從而可得，故，且，然后根據(jù)和可得， ，由此可得橢圓的方程．（2）分別設(shè)出直線直線的方程，解方程組可得點， 的坐標，經(jīng)分析題意可得定點必在軸上，不妨設(shè)該點坐標，然后根據(jù)直線的斜率相等建立關(guān)于的等式，結(jié)合點， 的坐標經(jīng)計算可得定點坐標．

試題解析：

（1）由題意得，

∴為的中位線，

∴，

∴，

∴，

又， ，

∴， ，

∴橢圓方程為．

（2）設(shè)， ，直線： ，

由 消去y整理得，

解得或（舍去）．

∴，

以代替上式中的，可得．

由題意可得，若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，

則得到的直線與關(guān)于軸對稱，

所以若直線經(jīng)過定點，該定點一定是直線與的交點，故該點必在軸上．

設(shè)該點坐標，則有，

∴ ，

將的值代入上式，化簡得，

∴直線經(jīng)過定點．