Question

（本題14分）如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點,口寬EF=4米，高3米，建立適當的直角坐標系，（1）求拋物線方程.（2）若將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時，所挖的土最少？

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)梯形ABCD的下底AB=米時，所挖的土最少.

【解析】

試題分析：（1）解：如圖 以O為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標系，

則F（2，3），設拋物線的方程是

因為點F在拋物線上，所以

所以拋物線的方程是

 ……………………4分

(2) 解：等腰梯形ABCD中,AB∥CD，線段AB的中點O是拋物線的頂點，AD，AB，BC分別與拋物線切于點M，O，N

，設，，則拋物線在N處的切線方程是……………………8分

，所以，……………………10分

梯形ABCD的面積是

…………………12分

答：梯形ABCD的下底AB=米時，所挖的土最少. ……………………14分

考點：本題主要考查拋物線在實際問題中的應用，導數的幾何意義，均值定理的應用，直線與拋物線的位置關系。

點評：綜合題，通過建立適當的直角坐標系，求得拋物線方程，從而通過研究直線與拋物線的位置關系，求切線方程，確定得到截面面積表達式，運用均值定理求得最值。