Question

【題目】設函數由方程確定，對于函數給出下列命題：

①存在，，使得成立；

②，，使得且同時成立；

③對于任意，恒成立；

④對任意，，；都有恒成立．

其中正確的命題共有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】A

【解析】

將方程的絕對值符號去掉，畫出函數的圖象，對命題逐一判斷，得:

對①，函數在上遞減，故①錯誤；

對②，即，均在圖象上，討論點分別在第一、二、四象限代入方程，看是否有實數解；

對③，恒成立，即恒成立，由圖的圖象總在圖象的上方，故③正確；

對④，可通過舉出反例確定④錯誤.

由方程知，

當且時，方程為；

當且時，方程為，不成立；

當且時，方程為；

當且時，方程為，不成立；

作出函數的圖象如圖所示，

對于①，是定義域R上的單調減函數，

則對任意，都有恒成立，①錯誤；

對于②，假設點在第一象限，則點也在第一象限，

所以，該方程組沒有實數解，所以該情況不可能；

假設點在第四象限，則點在第二象限，

所以，該方程組沒有實數解，所以該種情況不可能；

同理點在第二象限，則點在第四象限，也不可能．

故該命題是假命題．

對于③，由圖形知，對于任意，有

即恒成立，③正確；

對于④，不妨令，

則為，

又由題，則 ，

即不恒成立，所以④錯誤．

綜上知，正確的命題序號是③．

故選：A