Question

若函數y=f（x）在區間[a，b]上是連續的、單調的函數，且滿足f（a）•f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間[a，b]上有唯一的零點”．對于函數f（x）=-x³+x²+x+m，
（1）當m=0時，討論函數f（x）=-x³+x²+x+m在定義域內的單調性并求出極值；
（2）若函數f（x）=-x³+x²+x+m有三個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當m=0時，f（x）=-x³+x²+x．
∴f′（x）=-3x²+2x+1=．
列表如下：

由表可知：函數f（x）=-x³+x²+x在區間[-，1]上單調遞增，在和（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）的極小值為=-，
極大值為?（1）=1．
（2）由（1）知，當x=-時，
f（x）取得極小值，
當x=1時，f（x）取得極大值
f（1）=-1+1+1+m=m+1，
當，即-1＜m＜時，
f（-1）=1+1-1+m=m+1＞0，
=m-＜0，
f（1）=m+1＞0，f（2）=m-2＜0，
∴f（x）=-x³+x²+m在上有唯一零點．
在上有唯一零點，在（1，2]上有唯一零點．又f（x）=-x³+x²+x+m在（-∞，-1]上單調遞減，
在[2，+∞]上單調遞減，∴在（-∞，-1]上恒有?f（x）≥f（-1）＞0，在[2，+∞）上恒有f（x）≤f（2）＜0．
∴f（x）=-x³+x²+x+m-在（-∞，-1]和[2，+∞）上無零點．∴-1＜m＜時，函數f（x）=-x³+x²+x+m在有三個零點，
∴所求實數m的取值范圍是．
分析：（1）直接求函數f（x）=-x³+x²+x的導函數，判斷單調性求函數極值即可；
（2）三次函數有三個零點，也就是函數圖象與x軸有三個交點，函數的極小值小于0，極大值大于0，即求函數的極值即可解決．
點評：本題考查函數的導數研究函數的單調性，函數零點的概念，以及函數的導數求函數的極值，屬于中檔題．