Question

市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域是半徑為R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．
（Ⅰ）求原棚戶區建筑用地ABCD中對角A，C兩點的距離；
（Ⅱ）請計算出原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓的半徑R；
（Ⅲ）因地理條件的限制，邊界AD，DC不能變更，而邊界AB，BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P，使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：應用題,解三角形

分析：（Ⅰ）由∠ABC+∠ADC=180°及余弦定理得：AC²=4²+6²-2×4×6cos∠ABC=4²+2²-2×2×4cos∠ADC，可求∠ABC=60°，在△ABC中再用余弦定理即可求得AC；
（Ⅱ）S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC，利用三角形面積公式即可求得；
（Ⅲ）S_{四邊形APCD}=S_△ADC+S_△APC，易求S_△ADC，設AP=x，CP=y，則S△APC=

1

2

xysin60°=

3

4

xy，由余弦定理得：AC²=x²+y²-2xycos60°=x²+y²-xy=28x²+y²-xy≥2xy-xy=xy，可求xy的最大值，從而可得S_△APC的最大值，作AC的垂直平分線與圓弧ABC的交點即為點P．

解答： 解：（Ⅰ）∠ABC+∠ADC=180°，
由余弦定理得：AC²=4²+6²-2×4×6cos∠ABC=4²+2²-2×2×4cos∠ADC，
∴cos∠ABC=

1

2

，
∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=28，
∴AC=2

7

．即原棚戶區建筑用地ABCD中對角A，C兩點的距離為2

7

萬米．
（Ⅱ）S_{四邊形ABCD}=

1

2

×4×6×sin60°+

1

2

×2×4×sin120°=8

3

（萬平方米），
由正弦定理得：2R=

AC

sinB

=

2 7

3 2

=

4 21

3

（萬米），
∴R=

2 21

3

（萬米）；
（Ⅲ）S_{四邊形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S△ADC=

1

2

AD•CDsin120°=2

3

，
設AP=x，CP=y，則S△APC=

1

2

xysin60°=

3

4

xy，
由余弦定理得：AC²=x²+y²-2xycos60°=x²+y²-xy=28x²+y²-xy≥2xy-xy=xy，
∴xy≤28，當且僅當x=y時取“=”，
∴S_{四邊形APCD}=2

3

+

3

4

xy≤2

3

+

3

4

×28=9

3

（萬平方米），
∴作AC的垂直平分線與圓弧ABC的交點即為點P，最大面積為9

3

萬平方米．

點評：該題考查利用余弦定理解決實際問題，考查學生的運算求解能力，根據實際問題正確建立數學模型是解題關鍵．