Question

正項等比數列{a_n}中，a₂=3，a₆=243，S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1q=3 a1q5=243 q＞0

，由此得an=3n-1．由此得5×3+

5×4

2

d=35，由此得b_n=3+n-1=n+2．
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（n+2）•3^n-1，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正項等比數列{a_n}中，a₂=3，a₆=243，
∴

a1q=3 a1q5=243 q＞0

，解得a₁=1，q=3，
∴an=3n-1．
∵S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35，
∴5×3+

5×4

2

d=35，解得d=1，
∴b_n=3+n-1=n+2．
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（n+2）•3^n-1，
∴T_n=3•3⁰+4•3+5•3²+…+（n+2）•3^n-1，①
∴3T_n=3•3+4•3²+5•3³+…+（n+2）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+3+3²+3³+…+3^n-1-（n+2）•3ⁿ
=3+

3(1-3n)

1-3

-（n+2）•3ⁿ
=

3

2

-(n+

1

2

)•3n，
∴T_n=（

n

2

+

1

4

）•3ⁿ-

3

2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．