Question

已知函數f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x+1，
（1）求實數a的值；
（2）若ma=1，求g（m）的值；
（3）求函數g（x）在

-2

，

0

上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知中f（x）=3^x，f（a+2）=18，結合指數的運算性質可得3^a=2，化為對數式，可得實數a的值；
（2）若ma=1，則g（m）3-4log23+1，進而根據指數和對數的運算性質得到答案；
（3）g（x）=3^ax-4^x+1=2^x-4^x+1，令t=2^x，（x∈

-2

，

0

），則t∈[

1

4

，1]，則y=g（x）=2^x-4^x+1=-t²+t+1，進而根據二次函數的圖象和性質，得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，
∴f（a+2）=3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴a=log₃2
（2）若ma=1，
則m=log₂3，
∴g（m）=3-4log23+1=3-9+1=-5，
（3）g（x）=3^ax-4^x+1=2^x-4^x+1，
令t=2^x，（x∈

-2

，

0

），則t∈[

1

4

，1]，
則y=g（x）=2^x-4^x+1=-t²+t+1的圖象是開口朝下，且以直線x=

1

2

為對稱軸的拋物線，
故當t=

1

2

，即x=-1時，函數g（x）取最大值

5

4

，
當t=1，即x=0時，函數g（x）取最小值1．

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，指數和對數的運算性質，換元法思想，難度中檔．