Question

【題目】已知函數f（x）（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2
（1）求函數f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值時x取值集合；
（3）當x∈[ ， ]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2

化簡可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x﹣2=sin2x+cos2x= sin（2x+ ）

函數f（x）的最小正周期T=

（2）解：令2x+ = ，k∈Z，

得：x= ．

∴當x= 時，f（x）取得最大值為 ．

∴取得最大值時x取值集合為{x|x= ，k∈Z}

（3）解：當x∈[ ， ]時，

可得：2x+ ∈[ ， ]，

∴﹣1≤sin（2x+ ）≤

∴ ≤ sin（2x+ ）≤1．

故得當x∈[ ， ]時，函數f（x）的值域為[ ，1]

【解析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期；（2）根據三角函數的性質即可得f（x）的最大值，以及取得最大值時x取值集合；（3）當x∈[ ， ]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．