Question

【題目】已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ， ﹣an+1），n∈N* ， 向量 與 垂直，且a1=1
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足bn=log2an+1，求數列{anbn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 與 垂直，∴2nan+1﹣2n+1an=0，

即2nan+1=2n+1an，

∴ =2∴{an}是以1為首項，2為公比的等比數列

∴an=2n﹣1

（2）解：∵bn=log2a2+1，∴bn=n

∴anbn=n2n﹣1，…（8分）

∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 …①

∴2Sn=1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n …②

由①﹣②得，﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=

=（1﹣n）2n﹣1

∴Sn=1﹣（n+1）2n+n2n+1=1+（n﹣1）2n．

【解析】（1）由向量 與 垂直，得2nan+1=2n+1an ， ∴{an}是以1為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式可求an（2）由anbn=n2n﹣1 ， 則Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 ， 利用錯位相減法可求其和．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和等比數列的前n項和公式的相關知識點，需要掌握通項公式：或；前項和公式：才能正確解答此題．