Question

【題目】已知函數的定義域為；

（1）求實數的取值范圍；

（2）設實數為的最大值，若實數，，滿足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由定義域為R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得實數m的取值范圍（2）根據（1）實數t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．

(1)函數的定義域為R，

那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0對任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，

根據絕對值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3

∴3﹣m≥0，所以m≤3，

故實數m的取值范圍（﹣∞，3]；

（2）由（1）可知m的最大值為3，即t＝3，

那么a2+b2+c2＝t2＝9，

則a2+1+b2+1+c2+1＝12，

由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，

∴（），當a＝b＝c時取等號，

故得的最小值為．