Question

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

1 a c 0

的一個(gè)特征值為λ₁=-1，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α1=

-1 1

，已知β=

8 1

，求A⁵β．

Answer 1

依題意：Aα₁=-α₁，…（4分）
即

1 a c 0

-1′ 1′

=-

-1 1

，
∴

-1+a=1 -c=-1

，∴

a=2 c=1

…（8分）
A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）λ-2=λ²-λ-2=0，
則λ=-1或λ=2．
λ=2時(shí)，特征方程

x-2y=0 -x+2y=0

，屬于特征值λ=2的一個(gè)特征向量為

2′ 1′

，
∵β=

8 1

=-2

-1′ 1′

+3

2′ 1′

，
∴A⁵β=-2×（-1）⁵

-1′ 1′

+3×2⁵

2′ 1′

=

190′ 98′

．