Question

如圖已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=

3

，AD=PA=1，且點E在CD上移動，點F是PD的中點．
（Ⅰ）當點E為CD的中點時，求證EF∥平面PAC，
（Ⅱ）求證：PE⊥AF．
（Ⅲ）在線段CD上是否存在點E，使得直線EF與底面ABCD所成的角為30°，若存在，求出DE的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質可得線線平行，從而利用線面平行的判定，可得EF∥平面PAC；
（Ⅱ）先證明CD⊥平面PAD，再證明AF⊥平面PCD，即可證明PE⊥AF；
（Ⅲ）假設存在滿足要求的點E，則取AD的中點G，連接FG、EG，可得∠FGE即為EF與平面ABCD所成的角，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵點E、F分別為CD、PD的中點，∴EF∥PC，
又PC?平面PAC，EF?平面PAC
∴EF∥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，AD=PA=1，點F是PD的中點
∴AF⊥PD
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
而PA∩AD=A，CD⊥平面PAD，
故CD⊥AF，
又PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，即AF⊥PE…（8分）
（Ⅲ）假設存在滿足要求的點E，則取AD的中點G，連接FG、EG，
∵FG∥PA，PA⊥面ABCD，∴FG⊥面ABCD
∴∠FGE即為EF與平面ABCD所成的角，故∠FGE=30°…（10分）
在RT△EFG中，FG=

1

2

，∠FGE=30°，∴EG=

FG

tan30°

=

3

2

在RT△DEG中，DG=

1

2

，EG=

3

2

∴DE=

EG2-DG2

=

2

2

∵DE=

2

2

＜

3

∴存在滿足要求的點E，使得直線EF與底面所成的角為30°，
此時DE=

2

2

…（12分）

點評：本題考查線面平行、線面垂直的判定，考查線面角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．