Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

Answer 1

分析：（1）直接利用線面平行的判定定理證明；
（2）證明BC⊥平面PAC，只需證明BC垂直于面PAC內的兩條相交直線即可，由已知可以得到PA垂直于BC，通過解三角形證明AC垂直于BC，然后直接借助于線面垂直的判定證明BC⊥平面PAC；
（3）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，標出點的坐標，求出兩個面的法向量，利用兩個平面法向量所成角的余弦值得到二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

解答：（1）證明：如圖，
∵AB∥DC，且AB?平面PCD，DC?平面PCD．
∴AB∥平面PCD；
（2）證明：在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形．
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

．
∴AD=CE=1，
則AC=

AD2+DC2

=

2

，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC．
又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A．
所以BC⊥平面PAC．
（3）解：以A為坐標原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．
∴

AP

=(0，0，1)，

PC

=(1，1，-1)，

PD

=(1，0，-1)．
設

m

=(a，b，c)為平面PAC的一個法向量，
由

m • AP =0 m • PC =0

，得

c=0 a+b-c=0

，取b=-1，得a=1．
所以

m

=(1，-1，0)．
設

n

=(d，e，f)為平面PCD的一個法向量，
由

n • PC =0 n • PD =0

，得

d+e-f=0 d-f=0

，取f=1，得d=1，e=0．
所以

n

=(1，0，1)．
所以二面角A-PC-D的平面角α的正弦值sinα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

1

2 • 2

|=

1

2

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解二面角的大小，解答的關鍵是明確二面角的平面角與二面角的兩個平面法向量所成角的關系，是中檔題．