Question

【題目】已知，為實數，函數，且函數是偶函數，函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數.

（1）求函數的解析式；

（2）求實數的值；

（3）設，問是否存在實數，使得在區間上有最小值-2？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用函數是偶函數，求函數的解析式；

（2）利用復合函數的單調性，求實數b的值；

（3）分類討論，求出函數的最小值，利用在區間上有最小值為﹣2，得出結論．

（1）∵函數是偶函數，∴（x+1）2+a（x+1）+1＝（﹣x+1）2+a（﹣x+1）+1，∴4x+2ax＝0，∴a＝﹣2，

∴＝（x﹣1）2；

（2）＝﹣bx4+（5b﹣1）x2+2﹣b，

令t＝x2，u（t）＝﹣bt2+（5b﹣1）t﹣（b﹣2），

在區間上，t＝x2是減函數，且t∈，由是減函數，可知為增函數；

在區間上，t＝x2是減函數，且t∈（0，4），由是增函數，可知為減函數，

∴由在（0，4）上是減函數，（4，+∞）上是增函數，可得二次函數開口向上，b＜0，且﹣＝4，

∴；

（3），x∈[0，2]．

當q＜0，ymin＝h（0）＝1+2q＝﹣2，q＝﹣；

當0≤q≤2，ymin＝h（q）＝﹣q2+2q+1＝﹣2，∴q＝3或﹣1，舍去；

當q＞2，ymin＝h（2）＝﹣2q+5＝﹣2，q＝，

綜上所述：或.