Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=

n

4an

，其前n項和為 T_n，求證：

1

4

≤T_n＜1．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用當n=1時，a₂=S₁+1=a₁+1；當n≥2時，S_n+1=a_n+1（n∈N^*），S_n-1+1=a_n，兩式相減得a_n+1=2a_n，再利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知an=2n-1，可得b_n=

n

4an

=

n

2n+1

，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式，即可得出．

解答： （1）解：當n=1時，a₂=S₁+1=a₁+1=2；
當n≥2時，S_n+1=a_n+1（n∈N^*），S_n-1+1=a_n，
兩式相減得，a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴an=2n-1．
（2）證明：由（1）知an=2n-1，∴b_n=

n

4an

=

n

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

，
∴T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∵T_n+1-T_n=(1-

3+n

2n+2

)-(1-

2+n

2n+1

)=

n+1

2n+2

＞0，
∴T_n+1＞T_n，
∴T_n是遞增的，又T₁=

1

4

，
∴

1

4

≤T_n＜1．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數列的定義通項公式及其前n項和公式、遞推式的意義、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．