Question

已知函數f（x）=x²sinx，各項均不相等的有限項數列{x_n}的各項x_i滿足|x_i|≤1．令F（n）=

n

i=1

x1•

n

i=1

f(xi)，n≥3且n∈N，例如：F（3）=（x₁+x₂+x₃）•（f（x₁）+f（x₂）+f（x₃））．
下列給出的結論中：
①存在數列{x_n}使得F（n）=0；
②如果數列{x_n}是等差數列，則F（n）＞0；
③如果數列{x_n}是等比數列，則F（n）＞0；
正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,新定義,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：由題意，f（x）=x²sinx是奇函數，只需考查0＜x≤1時的性質，此時y=x²，y=sinx都是增函數，得f（x）=x²sinx在[0，1]上是增函數；即f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數．
x₁+x₂＜0時，得f（x₁）+f（x₂）＜0，x₁+x₂＞0時，得f（x₁）+f（x₂）＞0；即x₁+x₂≠0時，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0；
判定①是正確的，如{x_n}滿足x₁+x₂+…+x_n=0時；
②是錯誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0時，F（n）=0；
③是正確的，如數列{x_n}是等比數列，各項符號一致的情況顯然符合；各項符號不一致時，公比q＜0，討論n是偶數，n是奇數時，都有F（n）＞0．

解答： 解：由題意，得f（x）=x²sinx是奇函數，
當0＜x≤1時，y=x²，y=sinx都是增函數，
∴f（x）=x²sinx在[0，1]上遞增，
∴f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數；
若x₁+x₂＜0，則x₁＜-x₂，∴f（x₁）＜f（-x₂），
即f（x₁）＜-f（x₂），∴f（x₁）+f（x₂）＜0；
同理若x₁+x₂＞0，可得f（x₁）+f（x₂）＞0；
∴x₁+x₂≠0時，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0．
對于①，顯然是正確的，如{x_n}滿足x₁+x₂+…+x_n=0時；
對于②，顯然是錯誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0，F（n）=0時；
對于③，是正確的，當數列{x_n}是等比數列，且各項符號一致的情況時顯然符合題意；
若各項符號不一致，則公比q＜0，
若n是偶數，(x2i-1+x2i)=x1q2i-2(1+q)，i=1，2，…，

n

2

符號一致，
又（x_2i-1+x_2i），[f（x_2i-1）+f（x_2i）]符號一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇數，可證明“(x2i-1+x2i)=x1q2i-2(1+q)，i=1，2，…，

n-1

2

和xn=x1qn-1符號一致”，
或者“(x2i+x2i+1)=x1q2i-1(1+q)，i=1，2，…，

n-1

2

和x₁符號一致”，
同理可證符合F（n）＞0；
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了新定義的函數的性質以及應用問題，函數的單調性與奇偶性問題，等差與等比數列的性質與應用問題，是綜合題．