Question

【題目】已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若m＞0，g（x）=f（x）+ 存在兩個極值點x1 ， x2 ， 且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得mx+1＞0，f′（x）= ，

①若m＞0時，由mx+1＞0，得：x＞﹣ ，恒有f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣ ，+∞）遞增；

②若m＜0，由mx+1＞0，得：x＜﹣ ，恒有f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減；

綜上，m＞0時，f（x）在（﹣ ，+∞）遞增，

m＜0時，f（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減

（2）解：g（x）=ln（mx+1）+ ﹣2，（m＞0），

∴g′（x）= ，

令h（x）=mx2+4m﹣4，

m≥1時，h（x）≥0，g′（x）≥0，g（x）無極值點，

0＜m＜1時，令h（x）=0，得：x1=﹣2 或x2=2 ，

由g（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣2 ＞﹣ 且﹣2 ≠﹣2，解得：m≠ ，

∴x1，x2為g（x）的兩個極值點，

即x1=﹣2 ，x2=2 ，

且x1+x2=0，x1x2= ，得：

g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+ ﹣2+ln（mx2+1）+ ﹣2

=ln（2m﹣1）2+ ﹣2，

令t=2m﹣1，F（t）=lnt2+ ﹣2，

①0＜m＜ 時，﹣1＜t＜0，

∴F（t）=2ln（﹣t）+ ﹣2，

∴F′（t）= ＜0，

∴F（t）在（﹣1，0）遞減，F（t）＜F（﹣1）＜0，

即0＜m＜ 時，g（x1）+g（x2）＜0成立，符合題意；

② ＜m＜1時，0＜t＜1，

∴F（t）=2lnt+ ﹣2，F′（t）= ＜0，

∴F（t）在（0，1）遞減，F（t）＞F（1）=0，

∴ ＜m＜1時，g（x1）+g（x2）＞0，不合題意，

綜上，m∈（0， ）

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，確定函數的單調性；（2）求出g（x）的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值，判斷是否符合題意，從而判斷出m的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．