Question

【題目】已知函數f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1= = （a＞0），
∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，
∵f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，
在同一坐標系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，
即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，
整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，
∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，
解得：a≥ ．
所以答案是：[ ，+∞）．